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特殊值发挥大作用         ★★★
特殊值发挥大作用
作者:秦云 文章来源:本站原创 点击数:1952 更新时间:2014-6-27 9:33:23

  在解有些数学题时,会有一种一筹莫展、无从下手的感觉。这时巧取特殊值,可达到简化题目、减少思维量的效果。所谓特殊值,就是根据问题所给出的全部信息,在条件允许的范围内选取合适的某个特殊数值、特殊点、特殊位置或某个特殊图形等,经过简单的推理、判断或计算就得出问题的正确答案的方法. 下面通过一些例子来说明此法的优越性:

  例1:如图1,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上的动点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF的值为     。


  分析:此题中,因点P是AD上的一个动点,故PE和PF的长都是变量,不可能单独求出它们的长,则PE+PF只能是作为一个整体来求值。考虑到点P是AD上的一个动点,我们可取一个特殊点,即点P与点D重合时(如图2),这时,点F也与点D重合,即PF=0,那么PE+PF的值就等于Rt△ADC斜边上的高DE的长。利用勾股定理和三角形的面积公式不难求出DE的长度等于2.4,即PE+PF的值为2.4.

  例2:已知m,n是一元一次方程 的两个实数根,设 ,…, ,…,则 的值为   (      )

     A.0        B.1        C.2010     D.2011

  分析:根据四个备选答案可以判定,结果与a、b、c、m、n的值无关,我们可以构造一个一元二次方程使方程的两根为m=1,n=-1(尽可能使方程的根简单),令a=1,b=0,c=-1,则原方程为x2-1=0, 易算出s2010=2,s2009=0,s2008=2, 则 的值为0,故选A.

  例3:如图3,直角三角板的直角顶点P在正方形ABCD对角线AC上运动且一直角边始终过点D,另一直角边与边BC交于点E,试写出线段AP、PC与EC之间的数量关系并加以证明。               


  

  分析:通常情况下,判断三条线段的数量关系都是两条线段之和等于第三条线段,结合图形,可能会猜想是AP+EC=PC,但该题却偏偏不是。这时,我们若取一些特殊位置,则就可让我们少走弯路,大致确定三者的关系,指明解题的方向。因为点P是AC上的动点,当点P与点A重合时(如图4),此时点E与点B重合,则PC= EC,AP=0.当点P运动到AC中点时(如图5),此时点E与点C重合,则PC = AP,EC=0.结合图形,不难猜想这三条线段的数量关系可能是PC = EC + AP.证明时,首先会先找一条线段等于 EC,易想到过点E作EN⊥BC交AC于点N(如图6),则NC= EC,下面只需证明AP=PN,过点P作PM⊥AC交AB于点M,则AP=PM,只需证明△PMB与△PNE全等即可。易证∠1=∠3=∠2,推出∠4=∠5,PB=PE,再结合∠6=∠7,两三角形就全等,此题得证。

  特殊值对解决有关数学题目是一种非常独特且十分有效的方法,它可以帮助学生找到解题的突破口,使复繁的问题简易化,收到事半功倍的效果。

文章录入:智堡实校    责任编辑:智堡实校 
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